摘要：加權(quán)回歸是如果回歸線上的各點的精度不同，對各點賦以不同的權(quán)值，用加權(quán)最小二乘法確定回歸系數(shù)，擬合回歸方程和回歸線。文章發(fā)表在《農(nóng)業(yè)與技術(shù)》上，是農(nóng)業(yè)工程師論文發(fā)表范文，供同行參考。

　　關(guān)鍵詞：加權(quán)回歸,建模,異方差,模型評價

　　林業(yè)數(shù)表模型是森林經(jīng)營決策必不可少的計量、預測、評價依據(jù)，保證模型質(zhì)量至關(guān)重要，而樣本組織、模型擬合方法和模型評價是保證質(zhì)量的3個重要環(huán)節(jié)。實踐證明，林業(yè)數(shù)表模型所描述的問題普遍存在異方差性，在模型擬合中若不采取消除異方差影響的有效方法，必然導致模型有偏。

　　1　加權(quán)回歸的概念

　　確定變量之間的回歸關(guān)系，一般情況下是利用普通最小二乘法。假設隨機變量y～,其中，E(y)=f(x)。也就是說，隨機變量y與x滿足下列模型：

　　y=f(x)+ε　　　　(1)

　　式中的ε有3個基本假定，即“獨立、正態(tài)、等方差”，它們是采用普通最小二乘法建立回歸模型的先決條件。3個條件中的“獨立”與“正態(tài)”在一般情況下都是基本滿足的，而“等方差”這一條件，則在很多情況下都難以滿足。為解決誤差項ε的異方差性問題，應設法校正原有的模型，使校正后的模型其誤差項具有常數(shù)方差，而模型的校正取決于方差σ2εi與自變量xi之間的關(guān)系。假設εi的方差與xi的函數(shù)g(xi)呈比例關(guān)系，即：

　　2　權(quán)函數(shù)的選擇

　　2.1　異方差性的基本概念

　　根據(jù)回歸估計理論，當建立的回歸模型的誤差項存在異方差時，必須采用加權(quán)最小二乘法來消除異方差對參數(shù)估計的影響。在林業(yè)上所涉及的許多數(shù)學模型，如材積模型、生物量模型、生長率模型、削度模型等，其誤差項的方差都不為常數(shù)，而是隨解釋變量的變化而變化(駱期邦等，1992;曾偉生等，1992;曾偉生，1996)。一般而言，模型預估值隨解釋變量的增大而增大時，其誤差項的方差也隨解釋變量的增大而增大，如材積模型和生物量模型;模型預估值隨解釋變量的增大而減小時，其誤差項方差也隨解釋變量的增大而減小，如生長率模型。

　　2.2　權(quán)函數(shù)選擇的研究現(xiàn)狀

　　一般情況下，如果不具有異方差性形式的信息，可通過對剩余值|ei|=g(xi)進行試驗，以挑選出一種合適的擬合形式(俞大剛，1987)。另外，也有人提出直接尋找方差S2ei與自變量xi的關(guān)系式S2ei=g(xi)，再以W=1/g(xi)為權(quán)函數(shù)進行加權(quán)回歸，新模型的誤差項方差S2ei就會近似為常數(shù)1。還進一步提出了較具通用性的拋物線形式的權(quán)函數(shù)，并取得了較好的效果(曾偉生，1996)。但是這樣來確定權(quán)函數(shù)，一方面比較繁瑣;另一方面也難保證拋物線形式能適合所有模型，尤其是含多個自變量的模型;再就是必須有比較大的建模樣本才可能得到誤差項方差與變量x之間的回歸關(guān)系。誠然，在此基礎(chǔ)上還可以作些改進，

　　2.3　最佳權(quán)函數(shù)的確定

　　前面已經(jīng)提到，最佳權(quán)函數(shù)是針對某個模型而不是某類模型，即同類模型中不同的回歸方程式應有不同的最佳權(quán)函數(shù)。基于這一認識，我們再來對一些經(jīng)典模型及其合適權(quán)函數(shù)作進一步分析。

　　因此，新模型誤差項的期望值為0，其方差為常數(shù)，即對所有xi來說，每個ε′i的方差都相同;滿足等方差的條件。至此可以得出結(jié)論：以模型本身構(gòu)造的權(quán)函數(shù)(3)式就是要尋找的最佳權(quán)函數(shù)。

　　3　模型評價與加權(quán)回歸，回歸模型評價指標

　　建立回歸模型，從一般的意義上講有以下3個目的(劉璋溫等，1983)：

　　結(jié)構(gòu)分析——對觀測數(shù)據(jù)進行分析，以便描述存在于解釋變量與目標變量之間的結(jié)構(gòu)關(guān)系;

　　預測——以已知解釋變量的值來預測目標變量的未來值或期望值;

　　控制——為使目標變量的值保持在一個理想的水平上，而適當調(diào)整解釋變量中可調(diào)整的變量值。

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