摘 要：線性方程組及其求解是線性代數及高等數學課程中的核心內容，在數學相關領域中有應用廣泛。本文介紹了線性方程組在幾何學、高次方程理論、化學等方面的應用，以期為線性方程組的求解及應用提供一定的指導作用。
關鍵詞：線性方程組;幾何學;高次方程;化學
1 緒論
線性代數的核心內容是線性方程組的求解，這是在尋求線性方程組解的存在定理與求解方法的過程中產生的[1]。行列式理論和矩陣理論形成了線性代數的基本理論，這些理論知識本是代數問題，可是，若將該代數問題與幾何問題聯系起來，通過考慮常數項與系數的相互關系，從而建立方程組，就可在此基礎上得到方程組的矩陣求解及行列式求解[23]。這些理論知識為借用線性方程組解決實際問題提供了方法，并奠定了基礎。比如，將線性方程組理論應用在解析幾何中，可內在溝通線性代數與幾何之間的相互聯系，也可實現代數與幾何之間的相互滲透，還可使得對許多幾何問題的刻畫更為簡潔、明了。
2 線性方程組的應用
線性方程組的應用有很多方面，如在數學理論中，特別是幾何、代數等方面應用較多。除此之外，還可以用方程組來研究初等數學中的一些問題，從而可以避免煩瑣的分析與求解[4]。線性方程組在生活中也有廣泛應用，比如在計算機、物理、經濟、化學及航空等領域。此外，線性方程組也被用于電路、力學、數字處理等課程[56]。為了能更好地應用線性方程組的理論方法解決實際問題，需要在求解過程中將涉及的每個量聯系起來，通過分析條件及所求的關系，結合實際問題，通過恰當的問題轉化及變換，從而達到通過最有效、最快捷的方法來解決實際問題的目的。
2.1 線性方程組應用在幾何方面
設上述齊次線性方程組的一組非零解為(A1，D1，E1，F1)，由條件知，四點的任意三點均不共線，可設A1≠0(不然，會出現三點共線)，從而得知這四個點都在圓A1(a2+b2)+D1a+E1b+F1=0(A1≠0)上，由此得證。
2.2 線性方程組應用在高次方程理論中
定理2[8]設四個實數a，b，c，d各不相等，證明四元方程：
不妨設上面方程組中的四個方程有公共的實數解x0，則關于a，b，c，d的齊次線性方程組有非零解，從而上面方程組的系數行列式等于零，即x30x20x01
將x0=-1代入原方程組中，可得b=c，這與已知條件矛盾。
2.3 線性方程組應用在化學方面
化學中的線性方程組也有廣泛應用，比如用于化學方程式的配平問題，按照質量守恒定律，得到對應的方程，再經過聯立得到相對應方程組并求解，最后得出結果，便可得到相應的化學方程組的配平系數。
例1[9]假設在高溫下，一氧化碳可使得四氧化三鐵還原，使其生成二氧化碳與單質鐵，試配平如下的化學方程式：
CO+Fe3O4→Fe+CO2
解 設反應物與生成物的量依次為x1，x2，x3，x4，通過質量守恒定律知各原子數在反應前后保持不變，如，通過鐵原子的守恒得x3=3x2;通過碳原子的守恒得x1=x4;因此，由氧原子守恒得x1+4x2=2x4;
聯立上面三等式并移項得x3-3x2=0，
x1-x4=0，
x1+4x2-2x4=0。
易見上面方程組未知量的個數大于方程的個數，因此，上述線性方程組有非零解。
由于化學方程組的每個系數必是正數，即每一個分量的解都必須是正數解;通過矩陣的初等變換得上述線性方程組的增廣矩陣：
2.4 經濟平衡中線性方程組的應用
例2[10]某個經濟體系中有三個行業：五金、能源、機械，而且各行業的產出在每個行業中的分配比例見表1，其中每列的數表示相應行業占該行業總產出的比例。如第一列，五金行業總產出分配比例是：五金行業占20%;能源行業占30%;機械行業占50%。分別用p1，p2，p3表示五金、能源、機械在每年總產出的各價格，為使三個行業的投入與產出都相等，試求各行業的平衡價格。
解 由上表可得列值代表的是每個行業產出的具體分配方式，行值代表的是每個行業所需要的投入。
設此三行業的總產出價格依次為p1，p2，p3，則五金行業的總支出應該為0.3p1+0.1p2+0.4p3。
為使五金行業收入與支出相等，則應滿足：
p1=0.3p1+0.1p2+0.4p3
同理，對上表中的第1行、第3行的數據也進行相同的處理，把它們與上式聯立起來，就得到一個齊次線性方程組：
p1=0.2p1+0.8p2+0.4p3，
p2=0.3p1+0.1p2+0.4p3，
p3=0.5p1+0.1p2+0.2p3。
解得上述方程組的通解為p1
p2
p3=p31.417
0.917
1.000，即經濟系統中的平衡價格向量。
令p3=2.000億元，可得p1=2.834億元，p2=1.834億元，即，若機械行業產出的價格是2.000億元，則五金行業的產出價格是2.834億元，而能源行業產出的價格為1.834億元，這樣，每個行業的收入就等于該行業的支出了。
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