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【摘要】問題驅動教學,教學培養學科素養.問題始終伴隨著數學教學,特別是概念教學,更應該注重與學生思維的連接.本文通過問題的設計,以核心素養為引領,旨在促進學生對數學定義的理解、對數學知識的掌握,推動數學核心素養的提高.
【關鍵詞】問題驅動;數學核心素養;數學知識的掌握
問題是促使數學發展的源動力,數學上許多基本的、核心的概念與原理都是為了解決許許多多的實際問題而產生的.因此,在教學中教師應以問題為中心,讓學生在解決問題的過程中形成相應的概念與原理.《普通高中數學課程標準(2017版)》指出,數學在形成人的理性思維、科學精神和促進個人發展的過程中發揮著不可替代的作用,數學素養是現代社會每一個人應該具備的基本素養.因此,每一節數學課都蘊含著提高學生科學素養的目的,也體現了學科育人的目的.本文著力于以數學核心素養為導向,滲透在任意角的三角函數定義的每一個環節,精心設計問題,旨在提高學生的數學核心素養.
一、任意角的三角函數定義的教學過程
1.情境引入,引出問題
問題1 點P為摩天輪上的任意一點,如何表示點P的位置?
設計意圖:在摩天輪模型中,通過對一點的觀察與分析,引導學生能夠用(x,y)和(r,α)兩種方式準確描述出點的位置,并初步體會到兩者之間的關系,提高學生的觀察能力.
問題2 在直角坐標系xOy中,同一點P的坐標(x,y)和(r,α)之間有什么關系?為什么?
設計意圖:引導學生了解在坐標系中研究點的位置時,P點在第一象限時有如下結論:sin a=yr,
cos a=xr,r2=x2+y2,tan α=yx等,并讓學生聯想初中學過的三角函數的定義.
2.回顧舊知,找尋本質
問題3 在初中,銳角A的正弦、余弦、正切值分別是如何定義的?
學生通過回憶:銳角A的正弦(sin)、余弦(cos)和正切(tan)都叫作角A的銳角三角函數.
正弦(sin)等于對邊比斜邊:sin A=ac,
余弦(cos)等于鄰邊比斜邊:cos A=bc,
正切(tan)等于對邊比鄰邊:tan A=ab.
設計意圖:從學生原有的認知結構出發,為推廣任意角的三角函數做準備.
通過前兩問的引導,學生已經初步回憶起了銳角三角函數值的定義.教師此時再發問,學生可以回答得順理成章,也為本節課的任意角的三角函數進行引入.
問題4 在直角坐標系中,30°角的三角函數值怎么求?
設計意圖:將角置于直角坐標系中時,學生會想到初中學過的三角函數的幾何定義,并取自己熟悉的30°角的直角三角形,在其斜邊上取點,取點依據是30°角所對的直角邊等于斜邊的一半.教師帶領學生得出特殊點,比如P(3,1),接著教師提問:還可以取其他點求嗎?探究發現:在30°角終邊上任取一點(x,y),這些比值都相等;只要角確定,終邊就確定;只要角的終邊確定,三角函數值就不變;可以用坐標表示銳角三角函數等結論.
3.積累素材,建構數學
問題5 在直角坐標系中,你認為390°角的三角函數值怎么定義?
設計意圖:教師引導學生繼續回到摩天輪模型中討論,結合直角坐標系,得出390°和30°兩角終邊相同,三角函數值也對應相等.教師創設認知沖突的情境,引導學生通過討論摒棄原先的概念,讓學生通過求390°角的三角函數值,體會用坐標來表示三角函數的必要性和合理性,提高學生的探索能力,為引入任意角的三角函數的定義做準備.
問題6 如何定義3π4角的三角函數值?
設計意圖:有了390°角三角函數的求法經驗,學生可以在角的終邊上選點,按照坐標相應比值來計算,通過操作用坐標來表示3π4的三角函數值,感受新定義的運算.
問題7 如何定義任意角的三角函數?(給出任意角的三角函數的定義)
經過討論發現對于任意角α,在其終邊上任意取一點P(x,y),比值yr,xr,yx都是唯一確定的,因此得到
f1:α→yr——正弦:sin α=yr;
f2:α→xr——余弦:cos α= xr;
f3:α→yx——正切:tan α=yx(x≠0).
設計意圖:學生通過討論能夠說出任意角的三角函數(正弦、余弦、正切)的定義,體會坐標思想,體驗數學概念的推理過程,樹立勇于探索、善于發現的創新意識.
4.函數思想,加深理解
問題8 sin α,cos α,tan α是α的函數嗎?
通過回顧函數的定義,討論得出結論:對于確定的角α,比值yr和xr都是唯一確定的,故正弦和余弦都是角α的函數.當α≠π2+kπ(k∈Z)時,對于確定的角α,比值yx也是唯一確定的,故正切也是角α的函數.sin α,cos α,tan α分別叫作角α的正弦函數、余弦函數、正切函數,以上三個函數我們都稱為三角函數.
設計意圖:讓學生結合函數的定義,分析得出三角函數是函數,將三角函數統一理解.
問題9 sin α,cos α,tan α的符號如何確定?
利用任意角的三角函數定義,根據角的終邊的位置判斷任意角的三角函數值的符號.
設計意圖:通過函數的概念類比得到任意角的三角函數定義,對“任意角的三角函數”的概念有進一步的理解.
5.例題解決,鞏固所學
例1 已知角α的終邊經過點P(2,-3),求α的正弦值、余弦值、正切值.
例2 確定下列三角函數值的符號.
(1)cos 7π12 ;(2)sin(-465°) ;(3)tan11π3.1
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