摘要：數(shù)學(xué)可以分成兩大類，一類叫純粹數(shù)學(xué)，一類叫應(yīng)用數(shù)學(xué)。 純粹數(shù)學(xué)也叫基礎(chǔ)數(shù)學(xué)，專門研究數(shù)學(xué)本身的內(nèi)部規(guī)律。中小學(xué)課本里介紹的代數(shù)、幾何、微積分、概率論知識(shí)，都屬于純粹數(shù)學(xué)。文章發(fā)表在《電視技術(shù)》上，是數(shù)學(xué)論文發(fā)表范文，供同行參考。

　　關(guān)鍵詞：等,不等

　　1.否定特例，排除錯(cuò)解

　　解不等式的實(shí)踐告訴我們，不等式的解區(qū)間的端點(diǎn)是它的相應(yīng)等式(方程)的解或者是它的定義區(qū)間的端點(diǎn)(這里我們把+∞、-∞也看作端點(diǎn)).因此我們可以通過端點(diǎn)的驗(yàn)證，否定特例，排除錯(cuò)解，獲得解決問題的啟示.

　　例1　滿足sin(x-π/4)≥1/2的x的集合是().

　　分析：由x=-2不是原不等式的解排除A、C，由x=2是原不等式的一個(gè)解排除D，故選B.

　　這兩道題若按部就班地解來，例1是易錯(cuò)題，例2有一定的運(yùn)算量.上面的解法省時(shí)省力，但似有“投機(jī)取巧”之嫌.選擇題給出了三誤一正的答案，這是問題情景的一部分.而且是重要的一部分.我們利用“等”與“不等”之間的內(nèi)在聯(lián)系，把目光投向解區(qū)間的端點(diǎn)，化繁為簡，體現(xiàn)了具體問題具體解決的樸素思想，這種“投機(jī)取巧”正是抓住了問題的特征，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)思維的敏捷性和數(shù)學(xué)地解決問題的機(jī)智.在解不等式的解答題中，我們可以用這種方法來探索結(jié)果、驗(yàn)證結(jié)果或縮小探索的范圍.

　　例3　解不等式loga(1-1/x)>1.(1996年全國高考試題)

　　分析：原不等式相應(yīng)的等式--方程loga(1-1/x)=1的解為x=1/(1-a)(a≠1是隱含條件).原不等式的定義域?yàn)?1，+∞)∪(-∞，0).當(dāng)x→+∞或x→-∞時(shí)，loga(1-1/x)→0，故解區(qū)間的端點(diǎn)只可能是0、1或1/(1-a).當(dāng)01，可猜測解區(qū)間是(1，1/(1-a));當(dāng)a>1時(shí)，1/(1-a)<0，可猜測解區(qū)間是(1/(1-a)，0).當(dāng)然，猜測的時(shí)候要結(jié)合定義域考慮.

　　上面的分析，可以作為解題的探索，也可以作為解題后的回顧與檢驗(yàn).如果把原題重做一遍視為檢驗(yàn)，那么一則費(fèi)時(shí)，對考試來說無實(shí)用價(jià)值，對解題實(shí)踐來說也失去檢驗(yàn)所特有的意義;二則重做一遍往往可能重蹈錯(cuò)誤思路、錯(cuò)誤運(yùn)算程序的復(fù)轍，費(fèi)時(shí)而于事無補(bǔ).因此，抓住端點(diǎn)探索或檢驗(yàn)不等式的解，是一條實(shí)用、有效的解決問題的思路.

　　2.誘導(dǎo)猜想，發(fā)現(xiàn)思路

　　當(dāng)我們證明不等式M≥N(或M>N、M≤N、M

　　例4　設(shè)a、b、c為正數(shù)且滿足abc=1，試證：1/a3(b+c)+1/b3(c+a)+1/c3(a+b)≥3/2.(第36屆IMO第二題)

　　分析：容易猜想到a=b=c=1時(shí)，原不等式的等號成立，這時(shí)1/a3(b+c)=1/b3(c+a)=1/c3(a+b)=1/2.考慮到“≥”在基本不等式中表現(xiàn)為“和”向“積”的不等式變換，故想到給原不等式左邊的每一項(xiàng)配上一個(gè)因式，這個(gè)因式的值當(dāng)a=b=c=1時(shí)等于1/2，且能通過不等式變換的運(yùn)算使原不等式的表達(dá)式得到簡化.

　　1/a3(b+c)+1/b3(c+a)+1/c3(a+b)≥1/a+1/b+1/c-(1/4)[(b+c)/bc+(c+a)/ca+(a+b)/ab]=(1/2)(1/a+1/b+1/c)≥(3/2) =3/2，從而原不等式獲證.

　　這道題看似不難，當(dāng)年卻使參賽的412名選手中有300人得0分.上述湊等因子的思路源于由等號的成立條件而產(chǎn)生的猜想，使思路變得較為自然，所用的知識(shí)是一般高中生所熟知的.再舉二例以說明這種方法有較大的適用范圍.

　　例5　設(shè)a，b，c，d是滿足ab+bc+cd+da=1的正實(shí)數(shù)，求證：a3/(b+c+d)+b3/(a+c+d)+c3/(a+b+d)+d3/(a+b+c)≥1/3.(第31屆IMO備選題)

　　分析：猜想當(dāng)a=b=c=d=2時(shí)M取得最大值，這時(shí)M中的4個(gè)項(xiàng)都等于3.要求M的最大值，需將M向“≤”的方向進(jìn)行不等變換，由此可得3 ≤(3+4a+1)/2=2a+2，3 ≤2b+2，3 ≤2c+2，3 ≤2d+2.于是3M≤2(a+b+c+d)+8=24，∴M≤8.當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c=d時(shí)等號成立，所以M的最大值為8.

　　當(dāng)然，例6利用平方平均數(shù)不小于算術(shù)平均數(shù)是易于求解的，但需要高中數(shù)學(xué)教材外的知識(shí).利用較少的知識(shí)解決較多的問題，是數(shù)學(xué)自身的追求，而且從教學(xué)上考慮，可以更好地培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)能力.先有猜想，后有設(shè)計(jì)，再有證法，也是數(shù)學(xué)地思考問題的基本特征.

　　3.引發(fā)矛盾，啟迪探索

　　在利用基本不等式求最大值或最小值時(shí)，都必須考慮等號能否取得，這不僅是解題的規(guī)范要求，而且往往對問題的解決提供有益的啟示.特別當(dāng)解題的過程似乎順理成章，但等號成立的條件卻發(fā)生矛盾或并不一定成立.這一新的問題情景將啟迪我們對問題的進(jìn)一步探索.

　　例7　設(shè)a，b∈R+，2a+b=1，則2 -4a2-b2有().

　　A.最大值1/4　B.最小值1/4

　　分析：由4a2+b2≥4ab，得原式≤2 -4ab=-4( )2+2 =-4( -1/4)2+1/4≤1/4.若不對不等變換中等號成立的條件進(jìn)行研究，似已完成解題任務(wù)，而且覺得解題過程頗為自然，但若研究一下等號成立的條件，則出現(xiàn)了矛盾：要使4a2+b2≥4ab中的等號成立，則應(yīng)有2a=b=1/2，這時(shí) = /4≠1/4，第二個(gè)“≤”中的等號不能成立.這一矛盾使我們感覺到解題過程的錯(cuò)誤，促使我們另辟解題途徑.事實(shí)上，原式=2 -(2a+b)2+4ab=4ab+2 -1，而由1=2a+b≥2 得0< ≤ /4，ab≤1/8，∴原式≤ /2+1/2-1=( -1)/2，故選C.

　　等號不一定成立而啟迪我們對問題進(jìn)一步探索的典型例子是1997年全國高考(理科)第22題：

　　例8　甲、乙兩地相距S千米(km)，汽車從甲地勻速行駛到乙地，速度不得超過c千米/小時(shí)(km/h).已知汽車每小時(shí)的運(yùn)輸成本(以元為單位)由可變部分和固定部分組成：可變部分與速度v(千米/小時(shí))的平方成正比，比例系數(shù)為b，固定部分為a元.

　　Ⅰ.把全程運(yùn)輸成本y(元)表示為速度v(千米/小時(shí))的函數(shù)，并指出這個(gè)函數(shù)的定義域;

　　Ⅱ.為了使全程運(yùn)輸成本最小，汽車應(yīng)以多大的速度行駛?

　　分析：y=aSv+bSv，v∈(0，c]，由y≥2S 當(dāng)且僅當(dāng)aS/v=bSv，即當(dāng)v= 時(shí)等號成立得，當(dāng)v= 時(shí)y有最小值.這是本題的正確答案嗎?那就得考慮v= 是否一定成立.當(dāng) ≤c時(shí)可以，但 是有可能大于c的.這就引發(fā)了我們進(jìn)行分類討論的動(dòng)機(jī)，同時(shí)也獲得分類的標(biāo)準(zhǔn).

　　綜上所述，“等”是不等式問題中一道特殊的風(fēng)景，從“等”中尋找問題解決的思路，本質(zhì)上是特殊化思想在解題中的應(yīng)用.從教學(xué)上看，引導(dǎo)學(xué)生注視不等式問題中的“等”，是教會(huì)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題、提出問題，從而分析問題、解決問題的契機(jī).

　　自然科學(xué)職稱論文投稿：《電視技術(shù)》1977年創(chuàng)刊，由中國電子科技集團(tuán)公司第三研究所主辦，是國內(nèi)唯一一本全面介紹有線電視、地面電視、衛(wèi)星電視和應(yīng)用電視等整個(gè)電視領(lǐng)域技術(shù)發(fā)展的中央級優(yōu)秀科技期刊。