摘要：圓錐曲線包括圓，橢圓，雙曲線，拋物線。其統(tǒng)一定義：到定點(diǎn)的距離與到定直線的距離的比e是常數(shù)的點(diǎn)的軌跡叫做圓錐曲線。當(dāng)e>1時(shí)為雙曲線，當(dāng)e=1時(shí)為拋物線，當(dāng)e<1時(shí)為橢圓。文章發(fā)表在《自然資源學(xué)報(bào)》上，是數(shù)學(xué)論文發(fā)表范文，供同行參考。

　　關(guān)鍵詞：圓錐曲線,綜合問題

　　重點(diǎn):縱觀近年來高考中圓錐曲線的解答題,基本仍呈現(xiàn)幾何分析與代數(shù)解析并重的局面,但對代數(shù)解析和代數(shù)綜合(如綜合函數(shù)、導(dǎo)數(shù)、向量、不等式等知識(shí))方面考查的意識(shí)似有漸趨“濃厚”的傾向,更加注重解析幾何中通性通法(如“坐標(biāo)法”、曲線與方程思想)的考查. 這類題型主要涵蓋:動(dòng)點(diǎn)的軌跡問題,定點(diǎn)、定值的證明問題,最值和相關(guān)量的取值范圍問題,向量綜合問題,探索性問題等幾個(gè)方面,學(xué)習(xí)時(shí)應(yīng)以此為重點(diǎn).

　　難點(diǎn):如何將幾何問題有效地代數(shù)化;含多變量的式子中如何把握變形方向,簡化運(yùn)算進(jìn)程;如何綜合運(yùn)用函數(shù)、導(dǎo)數(shù)、向量、不等式等知識(shí),并確保運(yùn)算的準(zhǔn)確性.

　　1. 基本思路

　　基本解題思路通常為:①根據(jù)題意設(shè)出相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)和曲線的方程;②分析題目中的幾何關(guān)系,提取其“本質(zhì)特征”(等式或不等式);③將該本質(zhì)特征“坐標(biāo)化”(即用前面所設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)表示);④聯(lián)立方程組并消元成一元二次方程,考慮判別式,由韋達(dá)定理求出兩根的和與積;

　　以上為解析幾何的通性常法,以此為基礎(chǔ)才能解決圓錐曲線的綜合問題.

　　2. 基本策略

　　因這類問題大多為直線與圓錐曲線的綜合題,因此具體解題時(shí),大致可按“聯(lián)立→消元→判別式→韋達(dá)定理→弦長公式→中點(diǎn)坐標(biāo)公式”的流程進(jìn)行,為后續(xù)題綜合解作準(zhǔn)備.

　　設(shè)直線y=kx+b與圓錐曲線F(x,y)=0的交點(diǎn)為A(x1,y1),B(x2,y2),則

　　(1)聯(lián)立:F(x,y)=0,y=kx+b,即將圓錐曲線方程與直線方程組合成方程組,目的是“瞄”著交點(diǎn)的坐標(biāo)(即方程組的解).

　　(2)消元:消去y得到關(guān)于x的方程ax2+bx+c=0(或消去x得到關(guān)于y的方程ay2+by+c=0,通常根據(jù)題目的需要或消元的難易程度以決定消去x還是消去y).

　　(1)求p,t的值;

　　(2)求△ABP面積的最大值.

　　思索 本題是圓錐曲線中典型的面積最值問題,解析幾何中解決這類問題的常規(guī)手段是函數(shù)法,即將面積表示成某一變量的函數(shù),然后用函數(shù)、不等式、導(dǎo)數(shù)等手段求其最值. 具體分以下三步:首先,選取某個(gè)量為主元變量,并考慮其取值范圍(即定義域);其次,將面積表達(dá)成該變量的函數(shù)(即解析式);最后,對該面積函數(shù)求最值.

　　破解 (1)易得p=■,t=1,即拋物線方程C:y2=x,點(diǎn)M(1,1).

　　(2012四川)如圖2,動(dòng)點(diǎn)M與兩定點(diǎn)A(-1,0),B(2,0)構(gòu)成△MAB,且∠MBA=2∠MAB,設(shè)動(dòng)點(diǎn)M的軌跡為C.

　　(1)求軌跡C的方程;

　　(2)設(shè)直線y=-2x+m與y軸交于點(diǎn)P,與軌跡C相交于點(diǎn)Q,R,且PQ 思索 本題是綜合題中典型的動(dòng)點(diǎn)軌跡和相關(guān)量的取值范圍問題,考查了“坐標(biāo)法”及方程思想,尤其是將幾何量∠MBA=2∠MAB及■代數(shù)化的過程中,充分體現(xiàn)了“轉(zhuǎn)化”思想. 解析幾何中,將角度轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)通常有兩種方法,一是用向量夾角公式進(jìn)行坐標(biāo)化,二是取正切后轉(zhuǎn)化為直線的斜率,進(jìn)而轉(zhuǎn)化為坐標(biāo). 本題中,由于A,B兩點(diǎn)均在x軸上,因此后者更能揭示其“本質(zhì)特征”. 對于■,直接使用弦長公式即可轉(zhuǎn)化為有效的坐標(biāo)關(guān)系.

　　破解 (1)設(shè)M的坐標(biāo)為(x,y),則顯然有x>0,且y≠0. 當(dāng)∠MBA=90°時(shí),點(diǎn)M的坐標(biāo)為(2,±3);當(dāng)∠MBA≠90°時(shí),由∠MBA=2∠MAB兩邊取正切易得3x2-y2-3=0. 而點(diǎn)(2,±3)也在曲線3x2-y2-3=0上,綜上可知,軌跡C的方程為3x2-y2-3=0(x>1).

　　1. 歸納題型,注重通法

　　對圓錐曲線綜合題的每種題型及其處理方法都要細(xì)細(xì)總結(jié),掌握其解題規(guī)律,并在頭腦中形成網(wǎng)絡(luò)體系,這樣在考試時(shí)才能做到胸有成竹,呼之即來.

　　2. 數(shù)形結(jié)合,關(guān)注性質(zhì)

　　數(shù)形結(jié)合是解析幾何最明顯的特征,因此,充分挖掘圖形的幾何性質(zhì),靈活運(yùn)用曲線本身的知識(shí)(如定義、性質(zhì)、焦半徑等)往往是解決問題的突破口和簡化運(yùn)算的關(guān)鍵. 比如,涉及圓錐曲線焦半徑時(shí),要靈活運(yùn)用其定義;涉及圓的問題時(shí),要充分考慮圓的相關(guān)幾何性質(zhì);對于線圓關(guān)系、圓圓關(guān)系要強(qiáng)化幾何處理,淡化代數(shù)處理.

　　如何發(fā)表數(shù)學(xué)論文：《自然資源學(xué)報(bào)》1986年創(chuàng)刊，由中國科學(xué)技術(shù)協(xié)會(huì)主管，中國自然資源學(xué)會(huì)主辦的學(xué)術(shù)刊物，國內(nèi)外公開發(fā)行。