摘 要：機(jī)械加工零件時(shí)，由于加工誤差的存在導(dǎo)致模型表面不夠光滑。傳統(tǒng)計(jì)算機(jī)輔助設(shè)計(jì)方法在構(gòu)建機(jī)械零件模型時(shí)，無法對(duì)零件表面進(jìn)行表達(dá)，因此提出一種隨機(jī)生成點(diǎn)的算法來模擬零件表面因粗糙度導(dǎo)致波峰、波谷的出現(xiàn)。為了保證生成的點(diǎn)在零件粗糙度范圍內(nèi)，將某一范圍作為約束得到所需要點(diǎn)的坐標(biāo)，然后將點(diǎn)插入利用非均勻有理B樣條表達(dá)的模型，使建模能夠更接近真實(shí)零件。最終得到的模型實(shí)現(xiàn)了宏觀尺度上模型結(jié)構(gòu)的表達(dá)和微觀尺度上模型表面質(zhì)量的表達(dá)。該算法實(shí)現(xiàn)點(diǎn)的隨機(jī)生成，生成數(shù)據(jù)有60%符合要求，可用于體參數(shù)化建模，實(shí)現(xiàn)模型宏觀結(jié)構(gòu)與微觀波峰、波谷的表達(dá)。

　　關(guān)鍵詞：多尺度;非均勻有理B樣條;三維建模

　　1 引言(Introduction)

　　為了實(shí)現(xiàn)對(duì)機(jī)械零件的三維表達(dá)，依據(jù)不同的體參數(shù)化建模方式可以將其劃分為重建式和創(chuàng)建式[1-2]。重建式建模主要依據(jù)已有的參數(shù)信息完成模型的構(gòu)建;創(chuàng)建式則是實(shí)現(xiàn)從無到有的建模方式，完成三維模型的構(gòu)建。傳統(tǒng)三維建模方式一直將模型視為理想模型，只從宏觀角度對(duì)模型進(jìn)行研究，忽略了模型表面粗糙度。這種方式雖然能夠大大減少建模工作量，但是模型的微觀結(jié)構(gòu)卻難以體現(xiàn)[3]，因此對(duì)于一些微觀上的行為也就無從考證。

　　然而在機(jī)械加工過程中，由于機(jī)床加工精度的影響[4]，刀具經(jīng)常會(huì)在零件的表面留下凹凸不平的痕跡。大部分痕跡粗加工后可以直接觀察到，精加工之后的零件可以利用顯微鏡等工具觀察到。為了對(duì)模型有更深入的研究，有學(xué)者提出了多尺度的概念，即宏觀尺度和微觀尺度。目前，國內(nèi)外大多數(shù)學(xué)者主要將多尺度建模方法利用到復(fù)合材料上或用于有限元計(jì)算模型分析中。雷友鋒[5]建立了細(xì)觀復(fù)合材料模型，分析其對(duì)于宏觀模型性能的影響;郝寶坤[6]從多尺度出發(fā)，宏觀角度實(shí)現(xiàn)結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)，微觀角度實(shí)現(xiàn)材料設(shè)計(jì);陸新征等人[3]采用有限元多尺度計(jì)算方法，將微觀有限元模型更加自然地植入宏觀模型之中。

　　因此，本文通過將多尺度的概念與模型重建相結(jié)合，利用體參數(shù)化的方式實(shí)現(xiàn)三維模型宏觀結(jié)構(gòu)以及微觀粗糙度表達(dá)。

　　2 基礎(chǔ)理論(Theoretical basis)

　　2.1 三維幾何模型及映射關(guān)系

　　三維幾何模型構(gòu)建包含多種方法，其中體參數(shù)化模型適用于等幾何分析，在建模的過程中就完成模型的網(wǎng)格劃分，二維曲面模型的網(wǎng)格是四邊形，三維曲面模型的網(wǎng)格為六面體。體參數(shù)化得到的模型可以直接用于分析，對(duì)于CAD、CAE的集成具有推動(dòng)意義。對(duì)于零虧格模型來說，體參數(shù)化的意義在于先創(chuàng)建二維模型和三維模型T，建模之前需要先建立T與正四邊形和正立方體之間的一一映射關(guān)系。對(duì)于多虧格模型，則需要先對(duì)其進(jìn)行域分割，劃分成多個(gè)零虧格的子域，然后再建立映射關(guān)系[7]，如圖1所示。圖1中，①②③分別表示物理域到參數(shù)域，物理域單元體到參數(shù)域單元體和參數(shù)域到物理域的映射。

　　2.2 B樣條基礎(chǔ)理論

　　B樣條的性質(zhì)包括：(1)仿射不變性：經(jīng)過變換的B樣條仍為B樣條，且保持其性質(zhì)不發(fā)生改變。(2)局部修改性：對(duì)于任意控制點(diǎn)P的坐標(biāo)，當(dāng)P發(fā)生改變的時(shí)候，只對(duì)其對(duì)應(yīng)的節(jié)點(diǎn)矢量集有效。(3)連續(xù)、可微性：B樣條函數(shù)的基函數(shù)在節(jié)點(diǎn)矢量集合之中無限次可微。(4)曲線次數(shù)越低，B樣條曲線就越接近控制多邊形等[8]。

　　3 點(diǎn)隨機(jī)生成算法(Points random generation algorithm)

　　為了模擬機(jī)械零件表面由于加工誤差導(dǎo)致凹凸不平的現(xiàn)象，本文提出一種通過修改控制點(diǎn)實(shí)現(xiàn)NURBS曲面形狀修改的方法。因?yàn)榭刂泣c(diǎn)容易修改，易于編程實(shí)現(xiàn)，對(duì)曲面整體影響比較小，所以基于粗糙度的原理限定模型表面控制點(diǎn)在一定范圍內(nèi)進(jìn)行變化。改變控制點(diǎn)得到加工曲面，其仿真效果如圖3所示。圖3(a)是沒有修改的NURBS曲面，圖3(b)是修改其中間控制點(diǎn)的坐標(biāo)后得到的NURBS曲面，在不改變?cè)Ｐ瓦吔绲那闆r下模擬機(jī)械零件表面的凹凸不平。

　　基于上述NURBS曲面的性質(zhì)，本文提出根據(jù)時(shí)間種子隨機(jī)生成控制點(diǎn)的算法。根據(jù)模型表面微觀幾何形狀表面波峰與波谷間μ的大小，假設(shè)波峰、波谷與理想平面的距離相等，可以獲得零件加工表面最大尺寸和最小尺寸之差A(yù);通過搜索需要修改模型表面控制點(diǎn)的NURBS面片，得到需要修改的控制點(diǎn)，記為P。為了模擬模型表面不同尺寸的隨機(jī)性，利用srand((int)time(NULL))和rand()%200-100，通過系統(tǒng)時(shí)鐘生成不同的隨機(jī)數(shù)種子X。判斷X的絕對(duì)值是否在A/2之內(nèi)，將不符合條件的舍去。若符合要求的則z方向上坐標(biāo)值與A之和重新賦值給原控制點(diǎn)P，即可得到一個(gè)隨機(jī)的控制點(diǎn)。算法流程圖如圖4所示。

　　4 多尺度體參數(shù)化建模(Multi-scale volume parametric modeling)

　　4.1 體參數(shù)化建模

　　機(jī)械零件一般在幾何形狀上都是比較復(fù)雜的，涉及諸多尺寸，因此采用體參數(shù)化方式表達(dá)能夠?qū)崿F(xiàn)一變多變的效果。通過設(shè)定動(dòng)態(tài)的參數(shù)，可以驅(qū)動(dòng)其他尺寸發(fā)生變化，實(shí)現(xiàn)模型的重新生成。由于大多數(shù)機(jī)械零件具有對(duì)稱性，因此構(gòu)建部分模型之后，可以通過旋轉(zhuǎn)、拉伸、放樣等基本幾何變換得到完整的機(jī)械零件，這種方法能夠更好地提高建模效率。

　　體參數(shù)化建模有一個(gè)重要前提就是其必須為零虧格模型，但大多數(shù)機(jī)械零件是非零虧格模型。因此在建模之前需要將模型劃分成多個(gè)零虧格的四邊形或者六面體模型，如圖5所示為二維體參數(shù)化模型的劃分。通過將二維模型或三維模型劃分成四邊形或者六面體網(wǎng)格，再設(shè)定相對(duì)應(yīng)的控制點(diǎn)，即可按照上述方法完成模型的建立。

　　為了能夠更好地研究機(jī)械零件表面粗糙度但又能觀察到零件幾何外形，首先建立宏觀模型，能夠直接觀察模型的幾何外形。對(duì)于分析而言，施加約束和力就更加方便了，不容易出錯(cuò)。提取宏觀模型的部分區(qū)域，放大之后進(jìn)行微觀尺度上的表達(dá)，展現(xiàn)零件表面的不平整或者波峰、波谷分布不均性。

　　4.2 宏觀尺度模型表達(dá)

　　機(jī)械零件的設(shè)計(jì)是一個(gè)復(fù)雜的過程，為了能夠表達(dá)模型表面一些圓孔等特征，需要從宏觀尺度進(jìn)行零件的結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)。如圖6所示為一片圓孔板，板子上存在三個(gè)圓孔，所以該零件為多虧格模型。為了實(shí)現(xiàn)該模型表達(dá)，需要先對(duì)圓孔板進(jìn)行域分割，連接外輪廓線以及三個(gè)圓孔線即可將模型劃分成連通區(qū)域。確定模型的尺寸、NURBS曲線的次數(shù)、節(jié)點(diǎn)矢量之后，即可完成模型結(jié)構(gòu)表達(dá)。

　　4.3 微觀尺度模型表達(dá)

　　選取宏觀模型的局部區(qū)域進(jìn)行微觀建模。由于通過隨機(jī)生成控制點(diǎn)算法給定波峰、波谷間大小A=10(單位為μm)之后，生成的數(shù)值需要在A/2之內(nèi)，因此篩選隨機(jī)生成的數(shù)字X判斷點(diǎn)是否在此范圍內(nèi)。若在此范圍內(nèi)，則保留并賦予需要改變NURBS面上的中心控制點(diǎn)P;若不在此范圍內(nèi)則刪除，如表1所示。

　　得到上述隨機(jī)生成的數(shù)據(jù)后，通過X|≤A/2篩選符合要求的控制點(diǎn)，將符合條件的數(shù)值進(jìn)行重新排序，再賦值給要求改變的控制點(diǎn)。通過算法生成的數(shù)據(jù)中共有16 組數(shù)據(jù)符合要求，取滿足要求的前12 組數(shù)據(jù)帶入三維模型得到如表2所示的新控制點(diǎn)在z方向上的坐標(biāo)大小。

　　然后，通過體參數(shù)化建模得到如圖7所示的局部微觀尺度模型的表面。通過從u、v兩個(gè)方向?qū)δＰ捅砻孢M(jìn)行觀察，可以看到模型表面模擬出機(jī)械零件表面凹凸不平的情況。通過將該方法拓展到整個(gè)模型表面，在理論上即可得到存在粗糙度的零件模型。

　　5 結(jié)論(Conclusion)

　　本文利用體參數(shù)化建模的方法，站在多尺度的角度，從整體和局部?jī)蓚€(gè)方面對(duì)模型進(jìn)行表達(dá)。模擬機(jī)械加工零件表面粗糙度，給出了數(shù)值隨機(jī)生成算法，然后將其重新賦予需要改變的控制點(diǎn)。在給定A=10的情況下，求解得到16 組數(shù)據(jù)，最終篩選得到12 組符合在給定A的情況下的隨機(jī)生成點(diǎn)，通過將這12 組生成點(diǎn)分別重新插入體參數(shù)化模型，得到微觀粗糙度模型表達(dá)。該方法對(duì)于三維建模來說具有一定的意義，能夠從微觀尺度上對(duì)機(jī)械零件進(jìn)行研究。但是想要將微觀尺度的模型完全轉(zhuǎn)換為宏觀模型是需要大量的數(shù)據(jù)支持的，因此本方法在今后的計(jì)算機(jī)輔助設(shè)計(jì)建模研究中具有一定的啟發(fā)意義。

　　參考文獻(xiàn)(References)

　　[1] AKHRAS H A， ELGUEDJ T， GRAVOUIL A， et al. Isogeometric analysis-suitable trivariate NURBS models from standard B-Rep models[J]. Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering， 2016， 307(1)：256-274.

　　[2] LIU L， ZHANG Y J， HUGHES T J R， et al. Volumetric t-spline construction using boolean operations[J]. Engineering with Computers， 2014， 30(4)：425-439.

　　[3] 陸新征，林旭川，葉列平.多尺度有限元建模方法及其應(yīng)用[J].華中科技大學(xué)學(xué)報(bào)(城市科學(xué)版)，2008(04)：76-80.

　　[4] 曹毅杰.機(jī)械加工誤差產(chǎn)生原因及工藝措施分析[J].科技創(chuàng)業(yè)家，2012(16)：101，103.

　　[5] 雷友鋒.纖維增強(qiáng)金屬基復(fù)合材料宏-細(xì)觀統(tǒng)一本構(gòu)模型及應(yīng)用研究[D].南京：南京航空航天大學(xué)，2002.

　　[6] 郝寶坤.基于NURBS的復(fù)合材料構(gòu)件多尺度建模技術(shù)研究[D].哈爾濱：哈爾濱工業(yè)大學(xué)，2018.

　　[7] 陳龍，劉玉生，徐崗.體參數(shù)化模型離散調(diào)和映射生成[J].中國圖象圖形學(xué)報(bào)，2015(04)：568-575.

　　[8] 朱秉鐸.基于NURBS的復(fù)合材料構(gòu)件多尺度設(shè)計(jì)與制造一體化技術(shù)研究[D].哈爾濱：哈爾濱工業(yè)大學(xué)，2019.

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