摘 要 CVOFLS方法(Coupled Volume of Fluid and Level Set method)繼承了VOF和Level Set兩種方法的優(yōu)點(diǎn)，以VOF函數(shù)為主體模擬流體運(yùn)動(dòng)界面，通過Level Set函數(shù)校正界面法向，從而有效克服兩種方法的不足。多渦剪切流場(chǎng)數(shù)值模擬算例表明，該方法能保證較好的運(yùn)動(dòng)界面模擬精度以及較高的計(jì)算效率。

　　關(guān)鍵詞 運(yùn)動(dòng)界面 CVOFLS 模擬精度

　　現(xiàn)實(shí)生活中很多現(xiàn)象與運(yùn)動(dòng)界面密切相關(guān)，如水滴下落、氣體爆炸等問題[1]，因此，研究運(yùn)動(dòng)界面的數(shù)值模擬具有深遠(yuǎn)意義。在歐拉方法中，Level Set方法[2]和VOF方法[3]因其內(nèi)存占用小，易解決結(jié)構(gòu)復(fù)雜的流體運(yùn)動(dòng)界面問題以及實(shí)現(xiàn)簡(jiǎn)單等優(yōu)點(diǎn)而被廣泛采用。基于此，有學(xué)者提出了耦合兩類方法優(yōu)點(diǎn)的CLSVOF方法。

　　孫東亮等[4]于2010年給出了一種新的CLSVOF方法，該方法雖然簡(jiǎn)化了原始的CLSVOF方法，但其方法理論以及重構(gòu)界面的過程比較復(fù)雜。李強(qiáng)等[5]于2011年創(chuàng)造了一種全新的CLSVOF方法。該方法自帶質(zhì)量校正公式，并且計(jì)算自由運(yùn)動(dòng)界面精度很好，但其計(jì)算效率不高。

　　Level Set方法在模擬運(yùn)動(dòng)界面方面會(huì)計(jì)算得到更為準(zhǔn)確界面法向和曲率，又考慮到VOF方法具有計(jì)算效率高以及質(zhì)量守恒性好的優(yōu)點(diǎn)和界面法向與曲率較差的缺點(diǎn);因此，若將Level Set方法耦合到VOF方法中，便可克服其缺陷。本文采用了耦合Level Set與VOF的新方法─CVOFLS方法[6]，并通過對(duì)多渦剪切流場(chǎng)問題的模擬，驗(yàn)證了CVOFLS方法效率更高，界面守恒性更好。

　　1 輸運(yùn)方程

　　CVOFLS方法是一種新的耦合VOF與Level Set方法。運(yùn)動(dòng)介質(zhì)的速度場(chǎng)為u(u，v)，Level Set函數(shù)φ(X，t)以及VOF函數(shù)F(X，t)所滿足的輸運(yùn)方程表達(dá)式分別如下：

　　CVOFLS方法中采用周文等[7]的數(shù)值方法對(duì)方程(1)和(2)進(jìn)行離散。

　　Level Set函數(shù)的運(yùn)算過程中需對(duì)函數(shù)φ(X，t)進(jìn)行重新初始化，進(jìn)而獲得新的點(diǎn)X到界面的符號(hào)距離函數(shù);該方法可以保證Level Set函數(shù)的數(shù)值穩(wěn)定性，并使得其在求解域內(nèi)具有優(yōu)良的光滑性。

　　對(duì)方程(3)進(jìn)行離散得到的穩(wěn)態(tài)解來重新初始化符號(hào)距離函數(shù)。其中是偽時(shí)間，使用近似計(jì)算sign(φ0)，、為離散坐標(biāo)下的x軸與y軸的空間步長(zhǎng)。

　　2 數(shù)值方法

　　2.1 VOF輸運(yùn)方程的離散

　　為了計(jì)算方便，方程(2)可寫為守恒形式：

　　Sussman和Puckett[8]提出用通量分裂算法來求解方程(4)，其離散形式如下：

　　其中：

　　2.2 Level Set輸運(yùn)及重新初始化方程的離散

　　2.2.1 空間離散

　　方程(1)和方程(3)同屬于Hamilton-Jacobi型方程。

　　其中Level Set函數(shù)方程(1)可寫為：

　　其在Hamilton-Jacobi型方程中：

　　對(duì)應(yīng)的通量為：

　　其中，方程(3)可寫為：

　　其Hamilton-Jacobi型方程中：

　　對(duì)應(yīng)的通量為：

　　其中：

　　Jiang和Peng[9]專門針對(duì)Hamilton-Jacobi型方程求解，給出了經(jīng)典的五階WENO(Weighted Essentially Non-Os cillatory)格式。故本文空間離散采用該格式，進(jìn)而可得該方程的離散形式[10]：

　　其中文獻(xiàn)[8]給出了，，，的表達(dá)式及詳細(xì)推導(dǎo)過程，文獻(xiàn)[9]提供了詳細(xì)的方程(3)的離散形式。

　　2.2.2 時(shí)間項(xiàng)離散

　　采用三階TVD-R-K(Total Variation Diminishing Ru-nge-Kutta)格式對(duì)方程(1)、(3)進(jìn)行離散，可以有效避免數(shù)值振蕩，其表達(dá)式為：

　　其中，。對(duì)于Level Set方程(1)，;對(duì)于重新初始化方程(3)， 。

　　3 數(shù)值算例

　　為了驗(yàn)證本文提出的CVOFLS方法的有效性，下面以模擬多渦剪切流場(chǎng)的界面運(yùn)動(dòng)為例，檢驗(yàn)CVOFLS方法的模擬效果，即考察圓心在(0.5，0.5)、半徑為0.15的圓在速度場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)情況，整個(gè)流場(chǎng)計(jì)算區(qū)域?yàn)閇0，1]×[0，1]，時(shí)間步長(zhǎng)為0.002s。

　　其中t為模擬時(shí)間，T為多渦剪切流場(chǎng)的周期。

　　圖1、圖2分別給出了周期T=1s和T=2s時(shí)采用CVOFLS方法模擬多渦剪切流場(chǎng)的數(shù)值結(jié)果。由圖可知，CVOFLS方法在T=1s時(shí)模擬的數(shù)值結(jié)果與初始時(shí)刻的結(jié)果基本重合，表明其具有很好的穩(wěn)定性及守恒性。而在T=2s時(shí)模擬的數(shù)值結(jié)果效果良好，具有較好的守恒性。

　　4 結(jié)論

　　數(shù)值結(jié)果表明：CVOFLS方法對(duì)多渦剪切流場(chǎng)的數(shù)值模擬效果良好，其數(shù)值結(jié)果驗(yàn)證了CVOFLS方法的準(zhǔn)確性，同時(shí)表明該方法在數(shù)值界面模擬方面，具有更高的計(jì)算效率以及更好的界面模擬精度。

　　參考文獻(xiàn)：

　　[1] 劉儒勛，王志峰.運(yùn)動(dòng)界面追蹤與數(shù)值方法[M].合肥：中國(guó)科學(xué)技術(shù)大學(xué)出版社，2001.

　　[2] Osher S.，Sethian J.A. Fronts propagating with curv ature dependent speed： algorithms based on Hamilton-Jacobi formulat- ion[J].Journal of Computational Physics，1988，79(01)：12-49.