摘 要：當前，用于預測疲勞裂紋擴展的方法多種多樣，但無論哪一種裂紋擴展方法，都是以擴展點的擴展代替整個裂紋的擴展。因此，對擴展點的優化具有重要意義。考慮到遺傳算法對多參數優化具有較好的效果，基于遺傳算法對擴展點的個數和分布進行了優化研究;引進了“位置比”這個概念，以最外側擴展點的位置比表征擴展點的分布;介紹了一種裂紋擴展的數值方法，計算數值結果與實驗結果的誤差，取該誤差的倒數作為個體適應度。結果表明，當擴展點個數和最外側擴展點位置比分別為11和0.95時，個體適應度最高，數值預測精度最好。

　　關鍵詞：遺傳算法;裂紋擴展;擴展點個數;位置比;優化

　　引言(Introduction)

　　工程構件在生產、安裝、使用過程中，難免會受到擠壓、劃傷等，造成表面損傷。在循環荷載作用下，這些表面損傷將演變為表面裂紋，最終斷裂，從而導致構件失效。因此，研究表面裂紋的擴展機理具有很大的經濟價值和現實意義[1-4]。LIN等[5]、WU[6]通過三次樣條曲線擬合表面裂紋擴展形狀，而NEWMAN等[7]、SONG等[8]和LIU等[9]則通過橢圓弧擬合表面裂紋擴展形狀，雖然他們使用的裂紋擴展方法不同，但都是通過對擴展點的擬合得到擴展結果的。因此，對擴展點的優化具有重要意義。

　　遺傳算法作為一種最優算法，在很多領域得到應用[10-12]。隨著遺傳算法的不斷完善，其應用的領域也越來越廣[13-16]。考慮到遺傳算法對多參數優化具有較好的優化效果，本文基于遺傳算法對裂紋擴展過程中的擴展點個數與分布進行了優化研究。

　　2 裂紋擴展方法(Crack growth method)

　　2.1 位置比的確定

　　圖1是位置比的示意圖，其定義如式(1)所示，其中代表裂紋上的任何點p到裂紋最深點的距離，代表表面點到裂紋最深點的距離。對于一個給定的裂縫，因為最深的點和表面點是固定的，也是固定的。點p的位置發生變化，也發生變化，從而使R發生變化。換句話說，每一個點p的位置對應一個R，反過來，給出一個R也就能確定點p的位置。

　　2.2 裂紋擴展步驟

　　當裂紋從第條裂紋擴展到第 條裂紋時，其裂紋擴展示意圖如圖2所示。

　　其具體步驟如下：

　　(1)在第條裂紋上取N 個擴展點，其坐標為，代表第個擴展點，其取值為1到N。

　　(2)計算第 個擴展點的擴展步長。其中是第條裂紋上的第 個擴展點的應力強度因子幅，是第條裂紋上的第1 個擴展點的應力強度因子幅。是第1 個擴展點的擴展量。

　　(3)根據擴展點垂直于當前裂紋，求出擴展后的第 個擴展點pj，其坐標為。

　　(4)根據每個擴展點擴展后的坐標，擬合出第 條裂紋。

　　(5)將第條裂紋上的擴展點垂線與第 條裂紋的交點作為第 條裂紋的擴展點，其坐標為。

　　由于第1 條裂紋是已知的，從而可以得出第2 條裂紋，依次迭代可以得出整個擴展過程的所有裂紋。

　　3 數值結果處理(Numerical result processing)

　　考慮到優化時需要一個優化標準，因此提出一種可以量化數值結果與實驗結果誤差的方法。其原理是用一條曲線擬合實驗結果，然后以擬合曲線與數值曲線的接近程度作為優化標準。實驗結果來源于TORIBIO等人[17]。

　　3.1 實驗結果的處理

　　圖3是用Origin軟件擬合實驗數據后的結果圖。圖3中的擬合結果如表1所示。則實驗數據擬合曲線的方程為：

　　3.2 數值結果與實驗結果的誤差計算

　　經過將實驗數據擬合后，實驗結果可以用一條曲線代替，而數值結果也能用一條曲線表示，因此，可以將數值結果與實驗結果的誤差用兩條曲線的誤差代替。其示意圖如圖4所示，具體步驟如下：

　　(1)將數值結果中的n 個數據點連接起來。

　　(2)在實驗擬合曲線中取出n 個數據點，保證兩條曲線中的n 個數據點的相對裂紋深度相同。

　　(3)計算兩條曲線中n 個數據點的相對裂紋弦長差。

　　(4)計算兩條曲線的誤差。

　　4 基于遺傳算法的研究方法(Research method based on genetic algorithm)

　　遺傳算法的優化目標包括擴展點個數和擴展點分布，其中擴展點分布是通過最外側擴展點的位置比實現的。遺傳算法所選取的種群個數為8，實現步驟可以分為六步，即編碼、解碼、求解適應度、復制、交叉、變異。

　　(1)編碼

　　根據經驗，擴展點個數一般小于20，擴展點個數范圍選為3—18，共16 種選擇;而擴展點位置比為0.11、0.23、0.35、0.47、0.59、0.71、0.83和0.95，共八種選擇。

　　因此，染色體位數選擇為七位，前四位代表擴展點個數，后三位代表位置比，相對應的關系如表2和表3所示。可以將相關參數轉換成染色體編號。

　　(2)解碼

　　解碼規則與編碼規則是相對應的，可以根據染色體編號通過查詢表2和表3獲得對應的相關參數。

　　(3)求解適應度

　　每個個體中的染色體都能通過解碼找到其對應的擴展點個數和位置比，通過這兩個參數就能得到相應的數值結果，再將數值結果進行處理，就得到了數值結果與實驗結果的誤差，最后取誤差的倒數作為該個體的適應度。

　　(4)復制

　　將種群中適應度最低的個體用適應度最高的個體替代，就是更新后的種群。

　　(5)交叉

　　種群中個體與個體間有一定概率發生部分染色體交換的情況，用MATLAB實現的代碼如圖5所示。

　　(6)變異

　　除了個體與個體之間的交換會改變染色體外，每個個體自身的變異也會改變染色體的編號，用MATLAB實現的代碼如圖6所示。

　　5 種群進化(Population evolution)

　　首先，種群的第一代個體所對應的染色體編號由電腦隨機生成，其相關信息如表4所示。個體3適應度最小，個體4適應度最大。

　　將第一代種群進行復制、交叉與變異后得到第二代種群，其相關信息如表5所示。個體3適應度最小，個體8適應度最大。

　　將第二代種群進行復制、交叉與變異后得到第三代種群，其相關信息如表6所示。個體8適應度最小，個體4適應度最大。

　　將第三代種群進行復制、交叉與變異后得到第四代種群，其相關信息如表7所示。個體1適應度最小，個體3適應度最大。

　　將第四代種群進行復制、交叉與變異后得到第五代種群，其相關信息如表8所示。個體3適應度最小，個體5適應度最大。

　　將第五代種群進行復制、交叉與變異后得到第六代種群，其相關信息如表9所示。個體2適應度最小，個體1適應度最大。

　　將第六代種群進行復制、交叉與變異后得到第七代種群，其相關信息如表10所示。個體6適應度最小，個體2和個體3適應度最大。

　　將第七代種群進行復制、交叉與變異后得到第八代種群，其相關信息如表11所示。個體3適應度最小，個體2和個體6適應度最大。

　　6 結果與討論(Results and discussion)

　　將每代種群中最高的個體適應度作為該代種群中最佳適應度，從而可以得到種群中最佳適應度與種群迭代次數的關系，如圖7所示。從圖7中可以看出，當種群從第五代開始，種群中最佳適應度就一直維持在同一個水平。說明此時的種群已經進化到最佳狀態，則種群中最佳適應度對應的個體就是最佳個體，其對應的染色體編號為1000111，經過解碼后，得知其對應的擴展點個數和位置比分別為11和0.95。

　　對于擴展點，當擴展點較少時，用于預測下一條裂紋的擬合數據較少，導致誤差偏大;而當擴展點較多時，由于在模型計算中劃分網格精度不高，計算出的應力強度因子幅誤差偏大，從而使得單個擴展點精度不足，進而誤差也偏大。對于位置比，位置比越大，最外側擴展點越接近圓柱體表面，擴展點在整個裂紋前沿的分布范圍也越廣，也就越有利于減小誤差。

　　7 結論(Conclusion)

　　本文通過遺傳算法對疲勞裂紋擴展過程中擴展點的個數和分布進行了優化研究。具體結論如下：

　　(1)引進了位置比的概念，通過改變位置比實現對擴展點分布的改變。介紹了疲勞裂紋擴展方法，通過該方法可以實現在不同擴展點個數和分布下的數值擴展。