小波分析是當前應用數(shù)學和工程學科中一個迅速發(fā)展的新領(lǐng)域，經(jīng)過近10年的探索研究，重要的數(shù)學形式化體系已經(jīng)建立，理論基礎更加扎實。與Fourier變換相比，小波變換是空間(時間)和頻率的局部變換，因而能有效地從信號中提取信息。通過伸縮和平移等運算功能可對函數(shù)或信號進行多尺度的細化分析，解決了Fourier變換不能解決的許多困難問題。
    小波(Wavelet)這一術(shù)語，顧名思義，“小波”就是小的波形。所謂“小”是指它具有衰減性；而稱之為“波”則是指它的波動性，其振幅正負相間的震蕩形式。與Fourier變換相比，小波變換是時間(空間)頻率的局部化分析，它通過伸縮平移運算對信號(函數(shù))逐步進行多尺度細化，最終達到高頻處時間細分，低頻處頻率細分，能自動適應時頻信號分析的要求，從而可聚焦到信號的任意細節(jié)，解決了Fourier變換的困難問題，成為繼Fourier變換以來在科學方法上的重大突破。有人把小波變換稱為“數(shù)學顯微鏡”。
一、小波分析原理及其數(shù)學描述
小波分析是一種窗口大小（即窗口面積）固定但其形狀可改變，時問和率窗都可改變的時頻局部化分析方法。即在低頻部分具有較高的頻率分辨率較低的時間分辨率，即在高頻部分具有較高的時間分辨率和較低的頻率分辨使小波變換具有對信號的自適應性。
二、小波去噪原理
運用小波的多分辨分析特性進行信號、圖像的去噪處理是小波分析的重要應用之一。
在實際工程中，有用信號通常表現(xiàn)為低頻信號或是一些比較平穩(wěn)的信號，而噪聲信號通常表現(xiàn)為高頻信號。
小波閾值去噪的處理方法一般有以下三種：
1）強制去噪處理。該方法把小波分解結(jié)構(gòu)中的高頻系數(shù)全部變?yōu)榱悖椿谛〔ǚ治龅能嚺谱R別系統(tǒng)研究把高頻部分全部濾掉，然后在對信號進行重構(gòu)處理；這種方法比較簡單，重構(gòu)后的去噪信號也比較平滑，但容易丟失信號的有用成分；
2）閾值去噪處理。該方法利用ddencmp函數(shù)產(chǎn)生信號的默認閾值，然后利用wdencmp函數(shù)進行去噪處理；
3）給定軟（或硬）閾值去噪處理，閾值往往可以通過經(jīng)驗公式獲得，而且這種閾值比默認閾值更具有可信度。
三 、小波去噪的研究
噪聲通常被認為是有害信號，一般情況下應被抑制，然而，噪聲中也可能包含許多有用信息，如機電一體化設備運行中所產(chǎn)生的噪聲，就在一定程度上包含了反映其工作情況，狀態(tài)信息或參數(shù)等內(nèi)容，因為這些設備在運行時，其中力、速度、加速度的變化以及振動的振幅、頻率等信息都會以噪聲的形式表現(xiàn)出來。如果能采集、記錄到這樣的噪聲信號并對其進行必要的處理，就能從中提取到機電設備的工作情況、狀態(tài)參數(shù)等重要信息，還能以此作為我們對其進行監(jiān)控的手段之一。利用噪聲信號中的有用信息進行機電設備的故障診斷或狀態(tài)監(jiān)控，關(guān)鍵之處就是要對它進行合適的處理，因為在生產(chǎn)現(xiàn)場所采集到的噪聲信號非常繁雜且數(shù)據(jù)量很大，這其中有不少是無用數(shù)據(jù)，若不進行處理的話，很難獲得我們想要的信息。在實際的工程應用中，所分析的信號可能包含許多尖峰或突變部分，并且噪聲也不是平衡的白噪聲，對這種信號進行分析，首先需要作信號的預處理，將信號的噪聲部分去除，提取有用信號。對這種信號的消噪，傳統(tǒng)的傅里葉變換顯得無能為力，因為傅里葉分析是將信號完全在頻率域中進行的，它不能給出信號在某個時間點上的信號變化情況。而小波分析由于能同時在時、頻域中對信號進行分析，所以它能有效地區(qū)分信號中的突變部分和噪聲，從而實現(xiàn)信號的消噪。
1、小波分析用于降噪的過程
小波分析用于降噪的過程，可細分為如下幾段。
1）分析過程：選定一種小波，對信號進行N層小波（小波包）分解；
2）作用閾值過程：對分解得到的各層系數(shù)選擇一個閾值，并對細節(jié)系數(shù)作用軟閾值處理；
3）重建過程：降處理后的系數(shù)通過小波（小波包）重建恢復原始信號。
這個過程基于下如基本假設，即攜帶信息的原始信號在頻域或小波域的能量相對集中，表現(xiàn)為能量密集區(qū)域的信號分析系數(shù)的絕對值比較大，而噪聲信號的能量譜相對分散，所以其系數(shù)的絕對值小，這樣我們就可以通過作用閾值的方法過濾掉絕對值小于一定閾值的小波系數(shù)，從而達到降噪的效果。
2、用小波分析對非平穩(wěn)信號消除噪聲
在一個方波信號上加入一個高斯白噪聲，再將其分別用小波分析和傅里葉變換進行信號噪聲消除。
1）小波基的選擇：
作為小波的函數(shù) ，它一定要滿足容許條件，在時域一定要是有限支撐的，同時，也希望在頻域也是有限支撐的，但若時域越窄，其頻域必然是越寬，反之亦然。在時域和頻域的有限支撐方面往往只能取一個折中。此外，希望由母小波 形成的 是兩兩正交的；進一步希望 有高階的消失矩，希望與 相關(guān)的濾波器具有線性相位等等。這里選擇的是sym小波，又稱為正交小波，它是雙正交小波，并是緊支撐的，且 接近對稱（故所用的濾波器可接近于線性相位）。
2）小波多尺度分解各子帶系數(shù)的特點及噪聲影響
對圖像的小波變換覆蓋了圖像頻帶90%的小波系數(shù)集中在2¹、2²、2³它們包含了大部分圖像信息，所以可以只考慮這三個尺度的信息，而尺度2^j> 2³ 的信息保留在圖像的低頻分量中。隨著層數(shù)的增加，小波系數(shù)的范圍越來越大，說明較低層的小波系數(shù)具有更重要的地位。分辨率最低時，該子帶小波系數(shù)的范圍比別的子帶小波系數(shù)范圍寬，值和方差都比別的要大，說明這些小波系數(shù)同樣具有重要地位。
在各個子帶做特征提取之前，應首先考慮圖像中噪聲對子帶系數(shù)的影響。根據(jù)Donoho 的理論對含噪圖像連續(xù)做幾次小波分解之后，由空間分布不均勻的干凈圖像所對應的各尺度上小波系數(shù)在某些特定的位置有較大的值，這些點對應干凈圖像的畸變位置和重要信息，而其它大部分位置的值較小；對于白噪聲而言，它對應的小波系數(shù)在每一尺度上的分布是均勻的，并隨著尺度的增加，系數(shù)的幅值有所減小。可以看出，噪聲的影響主要集中在最高頻子帶中。因此考慮消噪問題時，可根據(jù)噪聲小波分解的系數(shù)的特點找一個合適閾值λ，把低于λ的小波系數(shù)視為主要由噪聲引起的設為0，而高于λ的予以保留，對最高頻子帶可提高閾值以減少噪聲影響。
 
參考文獻
[1]胡廣書，現(xiàn)代信號處理教程，清華大學出版社，2004