摘要：本文講述了幾種類型的循環小數的循環節，主要以除數為質數舉例簡單分析了其循環節奇妙現象的內在原因，發掘了循環小數更多的趣味性。
1、循環小數
1、1循環小數的產生
循環小數是由一個被除數除以一個除數，其余數永遠不為零時，便會產生循環小數。在所有的除數當中，任可不帶循環節的數除以都不會產生循環小數，而當除數為2時，其得數與乘以5以后再除以10是一樣的，同樣，當除數為5時，其得數與乘以2以后再除以10相同，這兩種情況也不會產生循環小數。在10進制中，除了的因數(例如2、5、4、等)之外的除數，都會產生循環小數。
1.2循環節
把一個真分數a/b(0
2、 循環節與其被除數的關系
2.1在討論循環節與其被除數關系之前，先讓我做一下說明，任何一個十進制數C,都可以表示為(C-1)后邊跟以9為循環節的形式，例如，2可以為化為1.循環小數的形式，0.17可化為1.76循環小數的形式。請讓我把這種形式暫時定義為數字的動態形式。從極限的角度看是成立的。
2.2循環節的位數及個數與一個真分數a/b中質數b有關，所有的十進制數a都可化成循環節為9的循環小數，在計算過程中,先計算1/b的情況，且把平常補0的形式改成以補9的形式進行計算，于是不難看出，循環節的位數最多為b-1位，即有b-1位9組成的數字是b與其產生的循環節的乘積。在a/b化小數的計算過程中，所得的循環節a乘以由1/b產生的循環節即可得到。例：1/3小數點后第一位9就能被3整除，循環節為3，2/3的循環節為2*3=6。所以當b為3時，在余數后補一個9就能產生一個一位的循環節了，b為11時，兩個99就能產生一個二位數的循環節，當b為41時，小數點后補5個9就能產生一個循環節了。當b為一個質數時，若t個9就能產生一個循環節，即b 為t 位9組成的數的一個因數，b能產生的循環節有(b-1)/t個，每個循環節的位數為t位。
3、循環節的奇妙性質
3.1在a/b中，b為質數，a為從1到(b-1)中的任意整數，且a+d=b，那么由余數為a時產生的循環節與余數為d時產生的循環節之和為由9組成的數。例①：1/3的循環節3與2/3的循環節6之和為9。例②：1/11的循環節與10/11的循環節09與90是同一個循環節的兩個形式，也就是說1/11化小數的過程中出現了余數為10的情況，10=11-1，那么這個循環節自身前后兩部份之和也為9組成的數，0+9=9。例③：1/7產生的循環節為142857，而6/7產生的循環節為857142，那么142857+857142=999999，實際上1/7與6/7產生的環是相同的，都是142857，因為在1/7化小數的過程中也出現了余數6的情況。例④：1/41與40/41的循環節分別為02439、97560，相加后為99999，如果在同一個循環節里前后兩部份和為由9組成的數字時，人們稱為半九律，而相同除數下產生的循環節中，某循環節與別的循環節也會出現這種相加為9組成的數字，請暫時允許我稱著它和九律，把半九律和它和九律現象統稱為合九律。
3.2在a/b產生的循環節中，從循環節上的某位數字開始，依次用后一位數字減去前一位數字的結果會形成互為相反的兩組數。這種情況可能在本個循環節里出現，也許出現在d/b中，且a+d=b 。⑴：以1/17為例，其循環節為0588235294117647，依次用循環節上的后一位數減去前一位數：5-0=+5 8-5=+3 8-8=0 2-8=-6 3-2=+1 5-3=+2 2-5=-3 9-2=+7;4-9=-5 1-4=-3 1-1=0 7-1=+6 6-7=-1 4-6=-2 7-4=+3 0-7=-7，前半部份與后半部份剛好形成相反數字關系。⑵：以41為例，能產生的循環節有8個，每個有5位數字，即：02439、04878、07313、09756、12195、14634、26829、36585。以b為1與b為40時產生的循環節02439與97560為例，把02439+97560=99999，且2-0=+2、4-2=+2、3-4=-1、9-3=+6、0-9=-9，而7-9=-2、5-7=-2、6-5=+1、0-6=-6、9-0=+9。前一個循環節計算后的結果與后一個循環節計算后的結果是兩組符號相反的數。(3)：質數3產生的循環節同樣具有以上規律，1/3的循環節為3，而2/3的循環節為6，3+6=9，3-3=6-6=0。
以上這種情況都是由于3.1中合九律的原因，以1/7的循環節142857為例，其中4-1=3與(9-4)-(9-1)去括號后為9-4-9+1=-(4-1),只是符號相反了，但是可以看出循環小數美麗的另一面。
4、循環節奇妙的本質
4.1在進行a/b化小數的計算中，若有余數為(b-a)時，若把商增加1，則出現的余數為-a，把這個增加的1以0.
后用相應位數的9減去除數為a時已求出的商數的相應數字就是后邊的商的數字。以1/7為例，當計算到余數為2時補0商2余6，若是商3則余數為-1，運用數字的動態形式再把3改成2.的形式再計算，那用相應的999-142=857，所以142+857=999。這種現象有人定義為半9律，像1/7這樣的情況從1到6，即從1到(b-1)都全參與了，則其產生的循壞節位數為b-1位，并且前半部分與后半部分數字的和為(b-1)/2位9組成的數。如果在a/b化小數的計算過程中不會出現余數為(b-a)的情況，則產生的所有環都不會有半9律的現象。如果在a/b化小數的計算過程中，其循環節為t位，而不是(b-1)位，并且每個循環節本身都沒有半9律的現象，則a/b與(b-a)/b產生的兩個循環節相應的按順序相加為t位9組成的得數。
4.2在a/b化小數的計算過程中，如果其循環節位數為(b-1)，則把所有不重復的余數相加即從1加到(b-1)和為(b-1)*b/2,如果其循環節位數為t，則把參加產生循環節的余數相加和為m個b,m為整數，并且a/b化小數中參加產生循環節的余數之和為m*b,那么(b-a)/b中參加產生循環節的余數和為(t-m)個b 。
4.3在1/b化小數的計算過程中，如果其循環節為t位，則(b-1)/b的循環節位數也一定為t位，從1到(b-1)被除數的分別計算所得的循環節的位數不會超過被除數為(b-1)的循環節位數，也不會少于被除數為1的循環節的位數，故都為t位，且t只能為(b-1)的一個因數。這種情況也是由于b是t位9組成的數的一個因數的原因。
參考文獻：潘承洞 潘承彪 初等數論[M] 北京大學出版社 1993 135-138
