摘要 基于環(huán)路傳播延時對外差式光鎖相環(huán)穩(wěn)定性和環(huán)路相位誤差的影響，以奈奎斯特判斷準則為依據(jù)，以環(huán)路相位裕度為度量，研究了延時與環(huán)路中主要參數(shù)的關系。首先通過環(huán)路數(shù)學模型，計算出環(huán)路相位裕度。以常用一階無源低通濾波器和一階有源低通濾波器為代表，研究了延時與環(huán)路中自然頻率、阻尼因子、環(huán)路穩(wěn)定性和相位誤差的關系。結(jié)果表明，實際應用中，在保證環(huán)路穩(wěn)定性以及相位誤差的情況下，相位裕度應控制在45°～ 60°之間，當阻尼因子為1時環(huán)路自然頻率與延時乘積應處于0.138～0.266之間。同時計算出此時系統(tǒng)若處于最佳跟蹤性能范圍，環(huán)路延時應控制在0～1 ns內(nèi)。

　　關 鍵 詞 外差式光鎖相環(huán);延時;相位裕度;阻尼因子;自然頻率

　　0 引言

　　隨著人們對大容量、遠距離、高性能的通信需求，相干光通信已成為21世紀最主要的通信方式。然而相干光通信中光載波頻率穩(wěn)定性與接收機解調(diào)光載波相干性已成為影響相干光通信質(zhì)量的制約因素。外差式光鎖相環(huán)(Heterodyne Optical Phase Lock Loop，HOPLL)因能主動抑制光載波相位噪聲、合成高相干光等優(yōu)點，已成為相干光通信重要技術[1-2]。目前，HOPLL已應用于毫米波和太赫茲光信號合成、高分辨率光譜測量、微波光子學、光纖陀螺等領域[3-6]。2017年，Shams等[7]第一次通過實驗驗證HOPLL與光學頻率梳發(fā)生器(Optical Frequency Comb Generator，OFCG)結(jié)合，合成具有高穩(wěn)定性、低相位噪聲的可調(diào)諧太赫茲光載波;2018年，Balakier等[8]首次通過光子集成電路(Photonic Integrated Circuit，PIC)實現(xiàn)HOPLL對光學頻率梳中頻線選擇，篩選出具有高相干性光載波——光載波在5 kHz頻率處相位噪聲僅為-100 dBc/Hz;2018年，Katarzyna等[9]通過集成HOPLL和多段可調(diào)諧分布式布拉格反射激光器(DBR)電路實現(xiàn)DBR與參考光信號相位鎖定，在1 THz調(diào)諧范圍內(nèi)合成高純度毫米和太赫茲光載波——光載波在10 kHz頻率偏移處相位噪聲為-96 dBc/Hz等等。因此，設計高性能HOPLL環(huán)路對相干光通信系統(tǒng)具有重要意義。

　　HOPLL環(huán)路是一個具有慣性環(huán)節(jié)的線性系統(tǒng)[10]。因受環(huán)路負反饋控制，環(huán)路延時影響著環(huán)路輸出相位和幅度。過大的延時不僅降低環(huán)路相對穩(wěn)定性而且會增大環(huán)路相位誤差。因此實際使用中，為增強環(huán)路穩(wěn)定性和減小相位誤差，通常選擇降低環(huán)路自然頻率。但降低環(huán)路自然頻率會引發(fā)一系列級聯(lián)效應，如環(huán)路捕獲范圍變窄、捕獲時間增大、環(huán)路跟蹤性能降低、相位誤差變大等現(xiàn)象。因此，研究延時與環(huán)路穩(wěn)定性以及相位誤差之間關系很重要。相位裕度作為衡量環(huán)路相對穩(wěn)定性的指標，應控制在合理范圍內(nèi)。過大的相位裕度引起系統(tǒng)響應變慢，過小的相位裕度易引起系統(tǒng)不穩(wěn)定，因此環(huán)路相位裕度應設置為45°～ 60°之間。本文以奈奎斯特判斷準則為依據(jù)，以相位裕度為度量，通過控制變量法分析HOPLL環(huán)路相對穩(wěn)定性以及相位誤差，并且對環(huán)路延時、自然頻率、阻尼因子、穩(wěn)定性之間關系進行具體推導，推導結(jié)果對設計高性能HOPLL具有重要意義。

　　1 外差式光鎖相環(huán)結(jié)構(gòu)

　　圖1a)為典型外差式光鎖相環(huán)結(jié)構(gòu)圖[11]。環(huán)路結(jié)構(gòu)包括兩臺激光器，2×1光耦合器、光電探測器(PD)、射頻放大器(SOA)、鑒頻鑒相器(PFD)、低通濾波器(LPF)，環(huán)路延時環(huán)節(jié)(τ)。圖中一臺激光器作為主激光器，其頻率穩(wěn)定度高，線寬窄，相位噪聲小;另一臺激光器作為從激光器(又稱被鎖激光器)，從激光器線寬比較寬，相位噪聲大、可調(diào)諧。

　　基于奈奎斯特判斷準則，可以通過環(huán)路相位裕度衡量環(huán)路相對穩(wěn)定性能力[16]。相位裕度，即系統(tǒng)處于穩(wěn)定狀態(tài)時，環(huán)路所能受到相位擾動的大小。由開環(huán)傳遞函數(shù)[Hs]，計算環(huán)路相位裕度，如式(4)所示：

　　相位裕度φ大小可以表示環(huán)路相對穩(wěn)定能力的大小。當相位裕度為正時，環(huán)路呈現(xiàn)穩(wěn)定狀態(tài);當相位裕度為負時，環(huán)路進入不穩(wěn)定狀態(tài)。由式(3)可知，環(huán)路相位裕度與環(huán)路中低通濾波器傳遞函數(shù)[Gs]密切相關。HOPLL常用環(huán)路濾波器有2種結(jié)構(gòu)：無源低通濾波器和有源低通濾波器。

　　2.1 一階無源低通濾波器

　　無源低通濾波器，環(huán)路結(jié)構(gòu)簡單且由無源器件搭建，因此環(huán)路噪聲較小。根據(jù)梅森定理[17]，由低通濾波器產(chǎn)生的噪聲對從激光器影響較小。但無源低通濾波器增益較低，因此對環(huán)路整體增益有限。高階低通濾波器的實現(xiàn)通常伴隨更多環(huán)路極點的引入，嚴重影響環(huán)路相位域的頻率穩(wěn)定性。因此本文選擇一階無源低通濾波器作為環(huán)路分析模型。一階無源低通濾波器結(jié)構(gòu)如圖2所示。

　　2.2 一階有源低通濾波器

　　有源低通濾波結(jié)構(gòu)具有較大環(huán)路增益，因此對低頻信號具有放大作用從而達到更佳濾波效果。但同時運放內(nèi)部噪聲隨環(huán)路疊加從而影響環(huán)路鎖定時相位誤差。若運放噪聲偏大，則嚴重影響到環(huán)路鎖定。高階有源低通濾波器隨著極點的增加同樣影響環(huán)路頻率穩(wěn)定性。因此本文選擇一階有源低通濾波器作為分析模型。一階有源低通濾波器結(jié)構(gòu)如圖3所示。

　　3 結(jié)果與分析

　　3.1 一階有源低通濾波器穩(wěn)定性分析

　　為了研究環(huán)路自然頻率[ωn]和環(huán)路阻尼因子?之間關系，首先保證環(huán)路穩(wěn)定性，設環(huán)路相位裕度分別為45°和60°。如圖4所示。由上及下4條曲線依次表示環(huán)路延時為0.1 ns，1 ns，5 ns，10 ns，圖中縱坐標表示環(huán)路自然頻率log10 ωn。

　　由圖4a)和圖4b)可知，在相同環(huán)路延時條件ιd下，環(huán)路自然頻率[ωn]并不是環(huán)路阻尼因子?的單調(diào)函數(shù)，而是隨著阻尼因子?增大，環(huán)路自然頻率[ωn]先增大，然后減小。在不同延時條件下，同樣存在最佳阻尼因子使得自然頻率最大。因此，通過選擇最佳阻尼因子有利于環(huán)路動態(tài)跟蹤性能。在相同阻尼因子和相位裕度下，環(huán)路延時越小，環(huán)路自然頻率越大，因此減小環(huán)路延時有助于提升環(huán)路跟蹤性能。對比圖4a)和圖4b)，最佳阻尼因子隨著相位裕度增大而變大，因此環(huán)路穩(wěn)定性隨著阻尼因子變大而增強。

　　由上可知，環(huán)路中存在最佳阻尼因子使環(huán)路自然頻率最大。研究時延與自然頻率之間關系，設環(huán)路阻尼因子為? = 1，如圖5所示。圖5中由上及下3條曲線分別表示相位裕度為0°，45°，60°這3種情況。相位裕度為0°表示環(huán)路相對穩(wěn)定臨界值。其中縱坐標表示環(huán)路自然頻率lgωn。

　　由圖5可以發(fā)現(xiàn)，在相位裕度相同時，環(huán)路延時越大，自然頻率越小。但環(huán)路延時在0～1 ns之間，自然頻率變化幅度較大，隨后變化幅度相對緩慢。因此，在環(huán)路穩(wěn)定前提下，為增大環(huán)路捕獲帶寬和跟蹤性能，環(huán)路最佳延時應控制在1 ns內(nèi)。在環(huán)路延時相同時，隨著相位裕度增大，環(huán)路自然頻率相應減小。因此，增大環(huán)路穩(wěn)定性時，環(huán)路捕獲范圍和跟蹤性能變差。

　　設計HOPLL，環(huán)路穩(wěn)定性和相位誤差均影響環(huán)路性能。由文獻[20]可知影響環(huán)路相位誤差因素主要包括激光器內(nèi)部相位噪聲、環(huán)路白噪聲和探測器散粒噪聲。其中激光器相位噪聲和探測器散粒噪聲與環(huán)路自然頻率與延時乘積有關，即ωnτd。因此有必要研究ωnτd與相位裕度之間關系。設阻尼因子? = 1，由式(8)計算兩者之間關系。如圖6所示，圖中相位裕度單位為rad，橫坐標k = ωnιd。

　　由圖6發(fā)現(xiàn)隨著環(huán)路k增大，相位裕度線性減小因此環(huán)路穩(wěn)定性降低。當k = 0.647時，環(huán)路相位裕度為0，處于臨界穩(wěn)定范圍。因此若使相位裕度處于45°～60°之間，k應處于0.138～0.266之間。同時，由文獻[21]計算此時環(huán)路相位標準方差小于10°。

　　為更直觀表示自然頻率、延時與相位裕度之間關系。設? = 1，如圖7所示。圖中縱坐標為相位裕度，橫坐標分別為環(huán)路延時與自然頻率。當縱坐標相位裕度為負值時，環(huán)路處于不穩(wěn)定狀態(tài)，無法正常工作。因此為保證HOPLL具有較高穩(wěn)定性，應設計合理環(huán)路時延與自然頻率。

　　3.2 一階無源低通濾波器穩(wěn)定性分析

　　通過控制變量法分析一階無源低通濾波器環(huán)路穩(wěn)定性。設環(huán)路相位裕度為45°和60°，結(jié)合式(6)，計算出阻尼因子與自然頻率關系，如圖8所示。圖8a)表示環(huán)路相位裕度為45°，圖8b)表示環(huán)路相位裕度為60°。由上到下四條曲線分別表示延時0.1 ns，1 ns，5 ns，10 ns。縱坐標表示自然頻率lg ωn，

　　由圖8a)、b)發(fā)現(xiàn)當環(huán)路延時相同時，自然頻率隨阻尼因子變大而增大。因此，環(huán)路跟蹤性能隨阻尼因子變大而增強。但環(huán)路跟蹤性能增強時，自然頻率與延時乘積增大，因此環(huán)路相位誤差增大，故環(huán)路動態(tài)跟蹤性能與相位誤差之間存在矛盾。當阻尼因子相同時，自然頻率隨著環(huán)路延時變小而增大。因此可以通過減小環(huán)路延時增強環(huán)路動態(tài)跟蹤性能。

　　為研究環(huán)路延時與自然頻率關系，設阻尼因子為1，以相位裕度60°為參考。如圖9所示，圖中縱坐標表示自然頻率lgωn。

　　由圖9發(fā)現(xiàn)環(huán)路自然頻率隨延時增加而減小。當延時處于0～1 ns之間，自然頻率衰減幅度較大，大約衰減一個數(shù)量級。因此過大延時導致環(huán)路動態(tài)性能急劇變差。為保證系統(tǒng)具有最佳捕獲性能，理想環(huán)路延時應控制在1 ns內(nèi)。

　　為更直觀表示一階無源低通濾波器環(huán)路延時、自然頻率和相位裕度關系，如圖10所示。圖10中阻尼因子為1，縱坐標表示環(huán)路相位裕度、橫坐標表示延時和自然頻率。

　　當環(huán)路相位裕度為正時，環(huán)路處于穩(wěn)定狀態(tài)。由式(6)與圖10分析，若延時與自然頻率設置不合理，環(huán)路容易脫鎖從而影響系統(tǒng)正常工作。對比圖7和圖10，發(fā)現(xiàn)一階無源低通濾波器在相同延時與自然頻率下，環(huán)路相位裕度優(yōu)于一階有源低通濾波器相位裕度。但實際情況中，為增大環(huán)路增益在相位噪聲允許情況下，選擇有源低通濾波器作為環(huán)路濾波結(jié)構(gòu)。

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